Cas 5 Résolution avec taux d'actualisation croissant et rachats

Données de base de l'exercice

Nombre de contrats initial : 50
Période de couverture : 4 ans
Prime unique : 30€ par contrat (Total 1 500€)
Sinistres et frais attendus : 800€, engagés uniformément sur la période de couverture (200€ par an)
'Risk adjustment' (RA) : 80€, libérée uniformément sur la période de couverture via l'OCI
Taux d'actualisation : 2,5% initial, augmentation de 0,02% (0,0002) chaque année.
Taux de rachat : 5% des contrats restants par an.
Libération de la CSM : En fonction des unités de couverture fournies par les contrats restants.

ÉTAPE PRÉLIMINAIRE : Calculs actuariels de base

1. Taux d'actualisation et facteurs cumulés

Les facteurs cumulés (v_n) sont identiques à ceux du scénario précédent (taux croissant) :

Année (n)	Taux annuel (i_n)	Facteur cumulé (v_n)
1	2,50% (0,0250)	0,975610
2	2,52% (0,0252)	0,951598
3	2,54% (0,0254)	0,927976
4	2,56% (0,0256)	0,904797

2. Nombre de contrats restants et unités de couverture

Le taux de rachat est de 5% des contrats restants. Les sinistres sont engagés uniformément sur la période de couverture.

Année	Contrats début	Contrats rachetés (5%)	Contrats fin	Contrats en vigueur (Moyenne)	Unités de couverture (UC)
1	50,00	50 × 0,05 = 2,50	47,50	48,75	48,75
2	47,50	47,50 × 0,05 = 2,38	45,12	46,31	46,31
3	45,12	45,12 × 0,05 = 2,26	42,86	43,99	43,99
4	42,86	42,86 × 0,05 = 2,14	40,72	41,79	41,79
Total					180,84

Hypothèse : Les sinistres sont engagés uniformément sur la période de couverture. L'unité de couverture est donc la moyenne des contrats en vigueur sur l'année.

3. Répartition des sinistres et de la RA

Les sinistres et la RA sont répartis proportionnellement aux unités de couverture.

Total UC = 180,84
Total Sinistres = 800€
Total RA = 80€

Année	UC	Part UC	Sinistres (€)	RA (€)
1	48,75	48,75 / 180,84 = 26,96%	800 × 0,2696 = 215,68	80 × 0,2696 = 21,57
2	46,31	46,31 / 180,84 = 25,61%	800 × 0,2561 = 204,88	80 × 0,2561 = 20,49
3	43,99	43,99 / 180,84 = 24,32%	800 × 0,2432 = 194,56	80 × 0,2432 = 19,46
4	41,79	41,79 / 180,84 = 23,11%	800 × 0,2311 = 184,88	80 × 0,2311 = 18,48
Total	180,84	100,00%	800,00	80,00

QUESTION 1.a : Déterminez la valeur des 'fulfilment cash-flows' et de la CSM à leur reconnaissance initiale

Étape 1 : Calcul de la valeur actuelle des flux futurs (PVCF)

PVCF = \sum_{n=1}^{4} (\text{Sinistres année } n \times v_n)

Année	Sinistres (€)	Facteur cumulé (v_n)	Valeur actuelle (€)
1	215,68	0,975610	215,68 × 0,975610 = 210,41
2	204,88	0,951598	204,88 × 0,951598 = 194,96
3	194,56	0,927976	194,56 × 0,927976 = 180,55
4	184,88	0,904797	184,88 × 0,904797 = 167,33
Total	800,00		PVCF = 753,25

PVCF = -753,25€

Étape 2 : Calcul des Fulfilment Cash-Flows (FCF)

FCF = PVCF + RA

FCF = -753,25€ + 80€ = -673,25€

Étape 3 : Calcul de la CSM à la reconnaissance initiale

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 500€ - 673,25€ = 826,75€

Tableau récapitulatif - Question 1.a

Élément	Montant (€)
Primes reçues	1 500,00
PVCF (sinistres actualisés)	-753,25
Risk Adjustment	80,00
Fulfilment Cash-Flows (FCF)	-673,25
CSM (reconnaissance initiale)	826,75

QUESTION 1.b : Comment évolueraient ces valeurs si la prime unique était de 25€, les sinistres de 1400€ et la RA de 120€ ?

Nouvelles données

Total des primes : 1 250€
Sinistres attendus : 1 400€
Risk adjustment : 120€

Étape 1 : Répartition des sinistres et de la RA

Total UC = 180,84
Total Sinistres = 1 400€
Total RA = 120€

Année	Part UC	Sinistres (€)	RA (€)
1	26,96%	1 400 × 0,2696 = 377,44	120 × 0,2696 = 32,35
2	25,61%	1 400 × 0,2561 = 358,54	120 × 0,2561 = 30,73
3	24,32%	1 400 × 0,2432 = 340,48	120 × 0,2432 = 29,18
4	23,11%	1 400 × 0,2311 = 323,54	120 × 0,2311 = 27,74
Total	100,00%	1 400,00	120,00

Étape 2 : Calcul de la PVCF

Année	Sinistres (€)	Facteur cumulé (v_n)	Valeur actuelle (€)
1	377,44	0,975610	368,29
2	358,54	0,951598	341,27
3	340,48	0,927976	315,91
4	323,54	0,904797	292,72
Total	1 400,00		PVCF = 1 318,19

PVCF = -1 318,19€

Étape 3 : Calcul des FCF

FCF = PVCF + RA

FCF = -1 318,19€ + 120€ = -1 198,19€

Étape 4 : Calcul de la CSM

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 250€ - 1 198,19€ = 51,81€

Tableau comparatif - Question 1.b

Élément	Scénario initial (Q1.a)	Scénario modifié (Q1.b)
Primes reçues	1 500,00€	1 250,00€
PVCF	-753,25€	-1 318,19€
Risk Adjustment	80,00€	120,00€
FCF	-673,25€	-1 198,19€
CSM calculée	826,75€	51,81€
Statut du contrat	Profitable	Profitable

QUESTION 2 : Si la RA est négligeable et que tout se déroule comme attendu

Nouvelles hypothèses pour la Question 2

RA = 0€
Sinistres répartis selon les UC (215,68€, 204,88€, 194,56€, 184,88€)
Taux d'actualisation croissant et rachats (5%)

QUESTION 2.a : La valeur de la CSM à la reconnaissance initiale des contrats

Calcul

PVCF = -753,25€ (calculé en 1.a)

FCF = PVCF + RA = -753,25€ + 0€ = -753,25€

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 500€ - 753,25€ = 746,75€

Tableau récapitulatif - Question 2.a

Élément	Montant (€)
PVCF	-753,25
RA	0,00
FCF	-753,25
CSM (reconnaissance initiale)	746,75

QUESTION 2.b : Le montant de CSM libéré en fin d'année 1

Calcul

La CSM est libérée proportionnellement aux unités de couverture fournies.

CSM initiale = 746,75€
Part UC année 1 = 26,96%

CSM libéré en année 1 = 746,75€ × 0,2696 = 201,36€

Tableau - Question 2.b

Élément	Montant (€)
CSM initiale	746,75
Part UC année 1	26,96%
CSM libéré en fin d'année 1	201,36

QUESTION 2.c : Le montant des sinistres attendus en année 3

Calcul

Les sinistres sont répartis selon les unités de couverture.

Sinistres attendus en année 3 = 194,56€ (calculé en étape préliminaire)

QUESTION 2.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

Méthodologie

La PVCF restante est calculée en actualisant les flux futurs restants avec les facteurs d'actualisation annuels restants.

FIN D'ANNÉE 1

Évolution de la CSM :
- CSM début année 1 : 746,75€
- CSM libéré : 201,36€
- CSM fin année 1 = 545,39€

Évolution de la PVCF :
- Sinistres payés en année 1 : 215,68€
- Il reste les sinistres des années 2, 3 et 4 (204,88€, 194,56€, 184,88€).

Année de paiement	Sinistres (€)	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle (€)
2	204,88	2,52% (0,0252)	0,975419	200,04
3	194,56	2,54% (0,0254)	0,975229	189,74
4	184,88	2,56% (0,0256)	0,975039	180,26
Total	584,32			PVCF = 570,04

PVCF fin année 1 = -570,04€

Passif total fin année 1 = 545,39€ + 570,04€ = 1 115,43€

FIN D'ANNÉE 2

Évolution de la CSM :
- CSM début année 2 : 545,39€
- Part UC année 2 : 25,61%
- CSM libéré : 746,75€ × 0,2561 = 191,24€
- CSM fin année 2 = 354,15€

Évolution de la PVCF :
- Sinistres payés en année 2 : 204,88€
- Il reste les sinistres des années 3 et 4 (194,56€, 184,88€).

Année de paiement	Sinistres (€)	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle (€)
3	194,56	2,54% (0,0254)	0,975229	189,74
4	184,88	2,56% (0,0256)	0,975039	180,26
Total	379,44			PVCF = 370,00

PVCF fin année 2 = -370,00€

Passif total fin année 2 = 354,15€ + 370,00€ = 724,15€

FIN D'ANNÉE 3

Évolution de la CSM :
- CSM début année 3 : 354,15€
- Part UC année 3 : 24,32%
- CSM libéré : 746,75€ × 0,2432 = 181,49€
- CSM fin année 3 = 172,66€

Évolution de la PVCF :
- Sinistres payés en année 3 : 194,56€
- Il reste les sinistres de l'année 4 (184,88€).

Année de paiement	Sinistres (€)	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle (€)
4	184,88	2,56% (0,0256)	0,975039	180,26
Total	184,88			PVCF = 180,26

PVCF fin année 3 = -180,26€

Passif total fin année 3 = 172,66€ + 180,26€ = 352,92€

FIN D'ANNÉE 4

Évolution de la CSM :
- CSM début année 4 : 172,66€
- Part UC année 4 : 23,11%
- CSM libéré : 746,75€ × 0,2311 = 172,66€
- CSM fin année 4 = 0,00€

PVCF fin année 4 = 0,00€

Passif total fin année 4 = 0,00€

Tableau récapitulatif - Question 2.d

Fin d'année	CSM (€)	PVCF (€)	Passif total (€)
0	746,75	753,25	1 500,00
1	545,39	570,04	1 115,43
2	354,15	370,00	724,15
3	172,66	180,26	352,92
4	0,00	0,00	0,00

QUESTION 3 : RA de 80€ libérée selon les UC via l'OCI, avec ajustements en année 2

Rappel des hypothèses de la Question 3

RA initiale : 80€, libérée selon les UC (21,57€, 20,49€, 19,46€, 18,48€)
En année 2 : sinistres réels = 140€ (au lieu de 204,88€ attendus)
Réestimation : sinistres années 3 et 4 = 140€ chacun (au lieu de 194,56€ et 184,88€)
Taux d'actualisation croissant et rachats (5%)

Étape 1 : Situation à la reconnaissance initiale

Rappel des valeurs initiales (avec RA = 80€) :
- CSM : 826,75€
- PVCF : -753,25€
- RA : 80€

Étape 2 : Évolution en année 1

CSM en année 1 :
- CSM libéré : 826,75€ × 0,2696 = 223,07€
- CSM fin année 1 = 603,68€

PVCF en année 1 :
- Sinistres payés en année 1 : 215,68€ (comme attendu)
- PVCF fin année 1 = -570,04€ (calculé en 2.d)

RA en année 1 :
- RA libéré : 21,57€
- RA fin année 1 = 58,43€

Étape 3 : Événements en année 2

Sinistres réels payés en année 2 : 140€ (au lieu de 204,88€ attendus)

Réestimation des sinistres futurs :
- Année 3 : 140€ (au lieu de 194,56€)
- Année 4 : 140€ (au lieu de 184,88€)

Étape 4 : Calcul de la nouvelle PVCF en fin d'année 2

Les sinistres restants sont ceux des années 3 et 4 (140€ chacun).

Année de paiement	Sinistres réestimés (€)	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle (€)
3	140,00	2,54% (0,0254)	0,975229	136,53
4	140,00	2,56% (0,0256)	0,975039	136,51
Total	280,00			PVCF = 273,04

PVCF fin année 2 (après réestimation) = -273,04€

Étape 5 : Calcul de l'ajustement de la CSM

PVCF attendue en fin d'année 2 (avant réestimation) :
- PVCF attendue = 370,00€ (calculé en 2.d)

Ajustement de la PVCF = -273,04€ - (-370,00€) = +96,96€

Ajustement de la CSM = +96,96€

QUESTION 3.a : Le montant de CSM libéré en fin d'année 2

CSM après ajustement = CSM début année 2 + Ajustement
CSM après ajustement = 603,68€ + 96,96€ = 700,64€

Part UC année 2 = 25,61%

CSM libéré en année 2 = 700,64€ × (0,2561 / (0,2561 + 0,2432 + 0,2311))
CSM libéré en année 2 = 700,64€ × (0,2561 / 0,7304) = 700,64€ × 0,3506 = 245,64€

QUESTION 3.b : La valeur de la CSM en fin d'année 2

CSM fin année 2 = CSM après ajustement - CSM libéré
CSM fin année 2 = 700,64€ - 245,64€ = 455,00€

QUESTION 3.c : Le montant des flux futurs sortants attendus en fin d'année 2

Le montant des flux futurs sortants (en valeur actuelle) est :

|PVCF| = 273,04€

Le montant non actualisé est :

Sinistres année 3 + Sinistres année 4 = 140€ + 140€ = 280€

Tableau récapitulatif - Questions 3.a, 3.b, 3.c

Élément	Montant (€)
CSM début année 2	603,68
Ajustement favorable	+96,96
CSM après ajustement	700,64
CSM libéré en fin d'année 2 (Q3.a)	245,64
CSM fin année 2 (Q3.b)	455,00
PVCF fin année 2 (Q3.c)	273,04

QUESTION 3.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

FIN D'ANNÉE 1

CSM fin année 1 = 603,68€
PVCF fin année 1 = 570,04€
RA fin année 1 = 58,43€

Passif total fin année 1 = 603,68€ + 570,04€ + 58,43€ = 1 232,15€

FIN D'ANNÉE 2

CSM fin année 2 = 455,00€
PVCF fin année 2 = 273,04€
RA fin année 2 = 37,94€ (58,43€ - 20,49€)

Passif total fin année 2 = 455,00€ + 273,04€ + 37,94€ = 765,98€

FIN D'ANNÉE 3

CSM fin année 3 :
- CSM début année 3 : 455,00€
- Part UC année 3 : 0,2432 / 0,4743 = 0,5127
- CSM libéré : 455,00€ × 0,5127 = 233,29€
- CSM fin année 3 = 221,71€

PVCF fin année 3 :
- Sinistres payés en année 3 : 140€
- Il reste les sinistres de l'année 4 (140€).
- PVCF fin année 3 = 136,51€ (calculé en 3.c)

RA fin année 3 :
- RA début année 3 : 37,94€
- RA libéré année 3 : 19,46€
- RA fin année 3 = 18,48€

Passif total fin année 3 = 221,71€ + 136,51€ + 18,48€ = 376,70€

FIN D'ANNÉE 4

Passif total fin année 4 = 0,00€

Tableau récapitulatif - Question 3.d

Fin d'année	CSM (€)	PVCF (€)	RA (€)	Passif total (€)
1	603,68	570,04	58,43	1 232,15
2	455,00	273,04	37,94	765,98
3	221,71	136,51	18,48	376,70
4	0,00	0,00	0,00	0,00

QUESTION 4 : RA de 80€ libérée selon les UC via l'OCI (mêmes conditions que 3)

QUESTION 4.a : La valeur de la CSM en fin d'années 1 et 2

CSM fin année 1 = 603,68€ (calculé en 3.d)

CSM fin année 2 = 455,00€ (calculé en 3.d)

QUESTION 4.b : Le montant de RA libéré en fin d'année 1

RA libéré en fin d'année 1 = 21,57€ (selon la part UC)

QUESTION 4.c : La valeur de la RA en fin d'année 2

RA fin année 2 = 37,94€ (calculé en 3.d)

QUESTION 4.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

Les valeurs sont identiques à celles calculées en 3.d.

Fin d'année	Passif total (€)
1	1 232,15
2	765,98
3	376,70
4	0,00

QUESTION 5 : RA ajustée à 30€ en année 3 (au lieu de 37,94€)

Étape 1 : Situation en début d'année 3

CSM début année 3 = 455,00€
RA début année 3 = 37,94€

Étape 2 : Réestimation de la RA en année 3

RA attendue pour années 3 et 4 : 37,94€

RA réestimée : 30,00€

Ajustement de la RA = 30,00€ - 37,94€ = -7,94€

QUESTION 5.a : La valeur de la CSM en fin d'année 3

Ajustement de la CSM = -7,94€

CSM après ajustement = 455,00€ - 7,94€ = 447,06€

Part UC restante : 0,4743

CSM libéré en année 3 = 447,06€ × (0,2432 / 0,4743) = 447,06€ × 0,5127 = 229,20€

CSM fin année 3 = 447,06€ - 229,20€ = 217,86€

QUESTION 5.b : La valeur de la RA en fin d'année 3

RA début année 3 (après réestimation) : 30,00€

RA libéré en année 3 = 30,00€ × (0,2432 / 0,4743) = 30,00€ × 0,5127 = 15,38€

RA fin année 3 = 30,00€ - 15,38€ = 14,62€

QUESTION 5.c : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'année 3

Composantes du passif en fin d'année 3 :
- CSM : 217,86€
- PVCF : 136,51€ (calculé en 3.d)
- RA : 14,62€

Passif total fin année 3 = 217,86€ + 136,51€ + 14,62€ = 368,99€

Tableau récapitulatif - Question 5

Composante	Montant (€)
CSM fin année 3 (Q5.a)	217,86
RA fin année 3 (Q5.b)	14,62
PVCF fin année 3	136,51
Passif total fin année 3 (Q5.c)	368,99