Cas 4 : Cas 4 Résolution avec taux d'actualisation variable (croissant)

Données de base de l'exercice

Nombre de contrats : 50
Période de couverture : 4 ans
Prime unique : 30€ par contrat, reçue immédiatement après la reconnaissance initiale
Total des primes : 1 500€
Sinistres et frais attendus : 800€, engagés uniformément sur la période de couverture (200€ par an)
'Risk adjustment' (RA) : 80€, libérée uniformément sur la période de couverture via l'OCI
Taux d'actualisation : 2,5% initial, augmentation de 0,02% (0,0002) chaque année.
Amortissement linéaire de la CSM

ÉTAPE PRÉLIMINAIRE : Calcul des facteurs d'actualisation

Avec un taux d'actualisation variable, le facteur d'actualisation cumulé v_n pour l'année n est le produit des facteurs d'actualisation annuels.

Calculs des taux et facteurs

Année (n)	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Facteur cumulé (v_n)
1	2,50% (0,0250)	1 / 1,0250 = 0,975610	0,975610
2	2,52% (0,0252)	1 / 1,0252 = 0,975419	0,975610 × 0,975419 = 0,951598
3	2,54% (0,0254)	1 / 1,0254 = 0,975229	0,951598 × 0,975229 = 0,927976
4	2,56% (0,0256)	1 / 1,0256 = 0,975039	0,927976 × 0,975039 = 0,904797

QUESTION 1.a : Déterminez la valeur des 'fulfilment cash-flows' et de la CSM à leur reconnaissance initiale

Étape 1 : Calcul de la valeur actuelle des flux futurs (PVCF)

Les sinistres sont de 200€ par an.

PVCF = \sum_{n=1}^{4} (\text{Sinistres année } n \times v_n)

Année	Sinistres	Facteur cumulé (v_n)	Valeur actuelle
1	200€	0,975610	200 × 0,975610 = 195,1220€
2	200€	0,951598	200 × 0,951598 = 190,3196€
3	200€	0,927976	200 × 0,927976 = 185,5952€
4	200€	0,904797	200 × 0,904797 = 180,9594€
Total	800€		PVCF = 751,9962€

PVCF = -751,9962€ (négatif car ce sont des sorties de trésorerie)

Étape 2 : Calcul des Fulfilment Cash-Flows (FCF)

FCF = PVCF + RA

FCF = -751,9962€ + 80€ = -671,9962€

Étape 3 : Calcul de la CSM à la reconnaissance initiale

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 500€ - 671,9962€ = **828,0038€**

Tableau récapitulatif - Question 1.a

Élément	Montant (€)	Détails du calcul
Primes reçues	1 500,0000	50 × 30€
PVCF (sinistres actualisés)	-751,9962	Somme des VA des sinistres
Risk Adjustment	80,0000	Donné
Fulfilment Cash-Flows (FCF)	-671,9962	PVCF + RA
CSM (reconnaissance initiale)	828,0038	Primes - \|FCF\|

QUESTION 1.b : Comment évolueraient ces valeurs si la prime unique était de 25€, les sinistres de 1400€ et la RA de 120€ ?

Nouvelles données

Total des primes : 1 250€
Sinistres attendus : 1 400€ (350€ par an)
Risk adjustment : 120€

Étape 1 : Calcul de la PVCF

Les sinistres sont de 350€ par an.

Année	Sinistres	Facteur cumulé (v_n)	Valeur actuelle
1	350€	0,975610	350 × 0,975610 = 341,4635€
2	350€	0,951598	350 × 0,951598 = 333,0593€
3	350€	0,927976	350 × 0,927976 = 324,7916€
4	350€	0,904797	350 × 0,904797 = 316,6790€
Total	1 400€		PVCF = 1 315,9934€

PVCF = -1 315,9934€

Étape 2 : Calcul des FCF

FCF = PVCF + RA

FCF = -1 315,9934€ + 120€ = -1 195,9934€

Étape 3 : Calcul de la CSM

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 250€ - 1 195,9934€ = **54,0066€**

Tableau comparatif - Question 1.b

Élément	Scénario initial (Q1.a)	Scénario modifié (Q1.b)
Primes reçues	1 500,0000€	1 250,0000€
PVCF	-751,9962€	-1 315,9934€
Risk Adjustment	80,0000€	120,0000€
FCF	-671,9962€	-1 195,9934€
CSM calculée	828,0038€	54,0066€
Statut du contrat	Profitable	Profitable

Conclusion : Le contrat reste profitable avec une CSM positive de 54,0066€.

QUESTION 2 : Si la RA est négligeable et que tout se déroule comme attendu

Nouvelles hypothèses pour la Question 2

RA = 0€
Sinistres payés uniformément : 200€ par an
Taux d'actualisation croissant

QUESTION 2.a : La valeur de la CSM à la reconnaissance initiale des contrats

Calcul

PVCF = -751,9962€ (calculé en 1.a)

FCF = PVCF + RA = -751,9962€ + 0€ = -751,9962€

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 500€ - 751,9962€ = **748,0038€**

Tableau récapitulatif - Question 2.a

Élément	Montant (€)
PVCF	-751,9962
RA	0,0000
FCF	-751,9962
CSM (reconnaissance initiale)	748,0038

QUESTION 2.b : Le montant de CSM libéré en fin d'année 1

Calcul

La CSM est amortie linéairement sur 4 ans.

CSM libéré en année 1 = 748,0038€ / 4 = 187,0010€

Tableau - Question 2.b

Élément	Montant (€)
CSM initiale	748,0038
Période de couverture	4 ans
CSM libéré en fin d'année 1	187,0010

QUESTION 2.c : Le montant des sinistres attendus en année 3

Calcul

Les sinistres sont engagés uniformément sur la période de couverture.

Sinistres attendus en année 3 = 800€ / 4 = 200€

QUESTION 2.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

Méthodologie

À chaque fin d'année, la PVCF restante est calculée en actualisant les flux futurs restants avec les facteurs d'actualisation annuels restants.

FIN D'ANNÉE 1

Évolution de la CSM :
- CSM début année 1 : 748,0038€
- CSM libéré : 187,0010€
- CSM fin année 1 = 561,0028€

Évolution de la PVCF :

Il reste les sinistres des années 2, 3 et 4 (200€ chacun).

Année de paiement	Sinistres	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
2	200€	2,52% (0,0252)	0,975419	200 × 0,975419 = 195,0838€
3	200€	2,54% (0,0254)	0,975229	200 × 0,975229 = 195,0458€
4	200€	2,56% (0,0256)	0,975039	200 × 0,975039 = 195,0078€
Total	600€			PVCF = 585,1374€

PVCF fin année 1 = -585,1374€

Passif total fin année 1 = 561,0028€ + 585,1374€ = 1 146,1402€

FIN D'ANNÉE 2

Évolution de la CSM :
- CSM début année 2 : 561,0028€
- CSM libéré : 187,0010€
- CSM fin année 2 = 374,0018€

Évolution de la PVCF :

Il reste les sinistres des années 3 et 4 (200€ chacun).

Année de paiement	Sinistres	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
3	200€	2,54% (0,0254)	0,975229	200 × 0,975229 = 195,0458€
4	200€	2,56% (0,0256)	0,975039	200 × 0,975039 = 195,0078€
Total	400€			PVCF = 390,0536€

PVCF fin année 2 = -390,0536€

Passif total fin année 2 = 374,0018€ + 390,0536€ = 764,0554€

FIN D'ANNÉE 3

Évolution de la CSM :
- CSM début année 3 : 374,0018€
- CSM libéré : 187,0010€
- CSM fin année 3 = 187,0008€

Évolution de la PVCF :

Il reste les sinistres de l'année 4 (200€).

Année de paiement	Sinistres	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
4	200€	2,56% (0,0256)	0,975039	200 × 0,975039 = 195,0078€
Total	200€			PVCF = 195,0078€

PVCF fin année 3 = -195,0078€

Passif total fin année 3 = 187,0008€ + 195,0078€ = 382,0086€

FIN D'ANNÉE 4

CSM fin année 4 = 0€
PVCF fin année 4 = 0€
Passif total fin année 4 = 0€

Tableau récapitulatif - Question 2.d

Fin d'année	CSM (€)	PVCF (€)	Passif total (€)
0	748,0038	751,9962	1 500,0000
1	561,0028	585,1374	1 146,1402
2	374,0018	390,0536	764,0554
3	187,0008	195,0078	382,0086
4	0,0000	0,0000	0,0000

QUESTION 3 : RA de 80€ libérée uniformément via l'OCI, avec ajustements en année 2

Rappel des hypothèses de la Question 3

RA initiale : 80€, libérée uniformément sur 4 ans (20€ par an)
En année 2 : sinistres réels = 140€ (au lieu de 200€ attendus)
Réestimation : sinistres années 3 et 4 = 140€ chacun (au lieu de 200€)
Taux d'actualisation croissant

QUESTION 3.a : Le montant de CSM libéré en fin d'année 2

Étape 1 : Situation à la reconnaissance initiale

Rappel des valeurs initiales (avec RA = 80€) :
- CSM : 828,0038€
- PVCF : -751,9962€
- RA : 80€
- FCF : -671,9962€

Étape 2 : Évolution en année 1

CSM en année 1 :
- Amortissement linéaire : 828,0038€ / 4 = 207,0010€
- CSM fin année 1 = 621,0028€

PVCF en année 1 :
- Sinistres payés en année 1 : 200€ (comme attendu)
- PVCF fin année 1 = -585,1374€ (calculé en 2.d)

RA en année 1 :
- RA libéré : 20€
- RA fin année 1 = 60€

Étape 3 : Événements en année 2

Sinistres réels payés en année 2 : 140€ (au lieu de 200€ attendus)

Réestimation des sinistres futurs :
- Année 3 : 140€ (au lieu de 200€)
- Année 4 : 140€ (au lieu de 200€)

Étape 4 : Calcul de la nouvelle PVCF en fin d'année 2

Les sinistres restants sont ceux des années 3 et 4 (140€ chacun).

Année de paiement	Sinistres réestimés	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
3	140€	2,54% (0,0254)	0,975229	140 × 0,975229 = 136,5321€
4	140€	2,56% (0,0256)	0,975039	140 × 0,975039 = 136,5055€
Total				PVCF = 273,0376€

PVCF fin année 2 (après réestimation) = -273,0376€

Étape 5 : Calcul de l'ajustement de la CSM

PVCF attendue en fin d'année 2 (avant réestimation) :
- PVCF attendue = 390,0536€ (calculé en 2.d)

Ajustement de la PVCF = -273,0376€ - (-390,0536€) = +117,0160€

Ajustement de la CSM = +117,0160€

QUESTION 3.a : Le montant de CSM libéré en fin d'année 2

CSM après ajustement = CSM début année 2 + Ajustement
CSM après ajustement = 621,0028€ + 117,0160€ = 738,0188€

Unités de couverture restantes en début d'année 2 : 3 ans

CSM libéré en année 2 = 738,0188€ / 3 = 246,0063€

QUESTION 3.b : La valeur de la CSM en fin d'année 2

CSM fin année 2 = CSM après ajustement - CSM libéré
CSM fin année 2 = 738,0188€ - 246,0063€ = **492,0125€**

QUESTION 3.c : Le montant des flux futurs sortants attendus en fin d'année 2

Le montant des flux futurs sortants (en valeur actuelle) est :

|PVCF| = 273,0376€

Le montant non actualisé est :

Sinistres année 3 + Sinistres année 4 = 140€ + 140€ = 280€

Tableau récapitulatif - Questions 3.a, 3.b, 3.c

Élément	Montant (€)
CSM début année 2	621,0028
Ajustement favorable	+117,0160
CSM après ajustement	738,0188
CSM libéré en fin d'année 2 (Q3.a)	246,0063
CSM fin année 2 (Q3.b)	492,0125
PVCF fin année 2 (Q3.c)	273,0376

QUESTION 3.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

FIN D'ANNÉE 1

CSM fin année 1 = 621,0028€
PVCF fin année 1 = -585,1374€
RA fin année 1 = 60€

Passif total fin année 1 = 621,0028€ + 585,1374€ + 60€ = 1 266,1402€

FIN D'ANNÉE 2

CSM fin année 2 = 492,0125€
PVCF fin année 2 = -273,0376€
RA fin année 2 = 40€

Passif total fin année 2 = 492,0125€ + 273,0376€ + 40€ = 805,0501€

FIN D'ANNÉE 3

CSM fin année 3 :
- CSM début année 3 : 492,0125€
- Unités de couverture restantes : 2 ans
- CSM libéré année 3 : 492,0125€ / 2 = 246,0063€
- CSM fin année 3 = 246,0062€

PVCF fin année 3 :
- Sinistres payés en année 3 : 140€
- Il reste les sinistres de l'année 4 (140€).
- PVCF fin année 3 = -136,5055€ (calculé en 3.c)

RA fin année 3 :
- RA début année 3 : 40€
- RA libéré année 3 : 20€
- RA fin année 3 = 20€

Passif total fin année 3 = 246,0062€ + 136,5055€ + 20€ = 402,5117€

FIN D'ANNÉE 4

Passif total fin année 4 = 0€

Tableau récapitulatif - Question 3.d

Fin d'année	CSM (€)	PVCF (€)	RA (€)	Passif total (€)
1	621,0028	585,1374	60	1 266,1402
2	492,0125	273,0376	40	805,0501
3	246,0062	136,5055	20	402,5117
4	0,0000	0,0000	0	0,0000

QUESTION 4 : RA de 80€ libérée uniformément via l'OCI (mêmes conditions que 3)

QUESTION 4.a : La valeur de la CSM en fin d'années 1 et 2

CSM fin année 1 = 621,0028€ (calculé en 3.d)

CSM fin année 2 = 492,0125€ (calculé en 3.d)

QUESTION 4.b : Le montant de RA libéré en fin d'année 1

RA libéré en fin d'année 1 = 80€ / 4 = 20€

QUESTION 4.c : La valeur de la RA en fin d'année 2

RA fin année 2 = 80€ - 20€ - 20€ = 40€

QUESTION 4.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

Les valeurs sont identiques à celles calculées en 3.d.

Fin d'année	Passif total (€)
1	1 266,1402
2	805,0501
3	402,5117
4	0,0000

QUESTION 5 : RA ajustée à 30€ en année 3 (au lieu de 40€)

Étape 1 : Situation en début d'année 3

CSM début année 3 = 492,0125€
RA début année 3 = 40€

Étape 2 : Réestimation de la RA en année 3

RA attendue pour années 3 et 4 : 40€

RA réestimée : 30€

Ajustement de la RA = 30€ - 40€ = -10€

QUESTION 5.a : La valeur de la CSM en fin d'année 3

Ajustement de la CSM = -10€

CSM après ajustement = 492,0125€ - 10€ = 482,0125€

Unités de couverture restantes : 2 ans

CSM libéré en année 3 = 482,0125€ / 2 = 241,0063€

CSM fin année 3 = 482,0125€ - 241,0063€ = 241,0062€

QUESTION 5.b : La valeur de la RA en fin d'année 3

RA début année 3 (après réestimation) : 30€

La RA est libérée uniformément sur les 2 années restantes.

RA libéré en année 3 = 30€ / 2 = 15€

RA fin année 3 = 30€ - 15€ = 15€

QUESTION 5.c : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'année 3

Composantes du passif en fin d'année 3 :
- CSM : 241,0062€
- PVCF : 136,5055€ (calculé en 3.d)
- RA : 15€

Passif total fin année 3 = 241,0062€ + 136,5055€ + 15€ = 392,5117€

Tableau récapitulatif - Question 5

Composante	Montant (€)
CSM fin année 3 (Q5.a)	241,0062
RA fin année 3 (Q5.b)	15,0000
PVCF fin année 3	136,5055
Passif total fin année 3 (Q5.c)	392,5117