Cas 3 Résolution avec taux d'actualisation variable (décroissant)

Données de base de l'exercice

Nombre de contrats : 50
Période de couverture : 4 ans
Prime unique : 30€ par contrat, reçue immédiatement après la reconnaissance initiale
Total des primes : 1 500€
Sinistres et frais attendus : 800€, engagés uniformément sur la période de couverture (200€ par an)
'Risk adjustment' (RA) : 80€, libérée uniformément sur la période de couverture via l'OCI
Taux d'actualisation : 2,5% initial, baisse de 0,02% (0,0002) chaque année.
Amortissement linéaire de la CSM

ÉTAPE PRÉLIMINAIRE : Calcul des facteurs d'actualisation

Avec un taux d'actualisation variable, le facteur d'actualisation cumulé v_n pour l'année n est le produit des facteurs d'actualisation annuels :

v_n = \frac{1}{1+i_1} \times \frac{1}{1+i_2} \times \dots \times \frac{1}{1+i_n}

Calculs des taux et facteurs

Année (n)	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Facteur cumulé (v_n)
1	2,50% (0,0250)	1 / 1,0250 = 0,975610	0,975610
2	2,48% (0,0248)	1 / 1,0248 = 0,975800	0,975610 × 0,975800 = 0,952037
3	2,46% (0,0246)	1 / 1,0246 = 0,975991	0,952037 × 0,975991 = 0,929002
4	2,44% (0,0244)	1 / 1,0244 = 0,976183	0,929002 × 0,976183 = 0,906509

QUESTION 1.a : Déterminez la valeur des 'fulfilment cash-flows' et de la CSM à leur reconnaissance initiale

Étape 1 : Calcul de la valeur actuelle des flux futurs (PVCF)

Les sinistres sont de 200€ par an.

PVCF = \sum_{n=1}^{4} (\text{Sinistres année } n \times v_n)

Année	Sinistres	Facteur cumulé (v_n)	Valeur actuelle
1	200€	0,975610	200 × 0,975610 = 195,1220€
2	200€	0,952037	200 × 0,952037 = 190,4074€
3	200€	0,929002	200 × 0,929002 = 185,8004€
4	200€	0,906509	200 × 0,906509 = 181,3018€
Total	800€		PVCF = 752,6316€

PVCF = -752,6316€ (négatif car ce sont des sorties de trésorerie)

Étape 2 : Calcul des Fulfilment Cash-Flows (FCF)

FCF = PVCF + RA

FCF = -752,6316€ + 80€ = -672,6316€

Étape 3 : Calcul de la CSM à la reconnaissance initiale

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 500€ - 672,6316€ = **827,3684€**

Tableau récapitulatif - Question 1.a

Élément	Montant (€)	Détails du calcul
Primes reçues	1 500,0000	50 × 30€
PVCF (sinistres actualisés)	-752,6316	Somme des VA des sinistres
Risk Adjustment	80,0000	Donné
Fulfilment Cash-Flows (FCF)	-672,6316	PVCF + RA
CSM (reconnaissance initiale)	827,3684	Primes - \|FCF\|

QUESTION 1.b : Comment évolueraient ces valeurs si la prime unique était de 25€, les sinistres de 1400€ et la RA de 120€ ?

Nouvelles données

Total des primes : 1 250€
Sinistres attendus : 1 400€ (350€ par an)
Risk adjustment : 120€

Étape 1 : Calcul de la PVCF

Les sinistres sont de 350€ par an.

Année	Sinistres	Facteur cumulé (v_n)	Valeur actuelle
1	350€	0,975610	350 × 0,975610 = 341,4635€
2	350€	0,952037	350 × 0,952037 = 333,2130€
3	350€	0,929002	350 × 0,929002 = 325,1507€
4	350€	0,906509	350 × 0,906509 = 317,2782€
Total	1 400€		PVCF = 1 317,1054€

PVCF = -1 317,1054€

Étape 2 : Calcul des FCF

FCF = PVCF + RA

FCF = -1 317,1054€ + 120€ = -1 197,1054€

Étape 3 : Calcul de la CSM

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 250€ - 1 197,1054€ = **52,8946€**

Tableau comparatif - Question 1.b

Élément	Scénario initial (Q1.a)	Scénario modifié (Q1.b)
Primes reçues	1 500,0000€	1 250,0000€
PVCF	-752,6316€	-1 317,1054€
Risk Adjustment	80,0000€	120,0000€
FCF	-672,6316€	-1 197,1054€
CSM calculée	827,3684€	52,8946€
Statut du contrat	Profitable	Profitable

Conclusion : Le contrat reste profitable avec une CSM positive de 52,8946€.

QUESTION 2 : Si la RA est négligeable et que tout se déroule comme attendu

Nouvelles hypothèses pour la Question 2

RA = 0€
Sinistres payés uniformément : 200€ par an
Taux d'actualisation variable (décroissant)

QUESTION 2.a : La valeur de la CSM à la reconnaissance initiale des contrats

Calcul

PVCF = -752,6316€ (calculé en 1.a)

FCF = PVCF + RA = -752,6316€ + 0€ = -752,6316€

CSM = Primes reçues - |FCF|

CSM = 1 500€ - 752,6316€ = **747,3684€**

Tableau récapitulatif - Question 2.a

Élément	Montant (€)
PVCF	-752,6316
RA	0,0000
FCF	-752,6316
CSM (reconnaissance initiale)	747,3684

QUESTION 2.b : Le montant de CSM libéré en fin d'année 1

Calcul

La CSM est amortie linéairement sur 4 ans.

CSM libéré en année 1 = 747,3684€ / 4 = 186,8421€

Tableau - Question 2.b

Élément	Montant (€)
CSM initiale	747,3684
Période de couverture	4 ans
CSM libéré en fin d'année 1	186,8421

QUESTION 2.c : Le montant des sinistres attendus en année 3

Calcul

Les sinistres sont engagés uniformément sur la période de couverture.

Sinistres attendus en année 3 = 800€ / 4 = 200€

QUESTION 2.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

Méthodologie

Pour la PVCF restante, nous devons utiliser les facteurs d'actualisation annuels restants.

FIN D'ANNÉE 1

Évolution de la CSM :
- CSM début année 1 : 747,3684€
- CSM libéré : 186,8421€
- CSM fin année 1 = 560,5263€

Évolution de la PVCF :

Il reste les sinistres des années 2, 3 et 4 (200€ chacun). Les facteurs d'actualisation à utiliser sont les facteurs annuels de l'année 2, 3 et 4.

Année de paiement	Sinistres	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
2	200€	2,48% (0,0248)	0,975800	200 × 0,975800 = 195,1600€
3	200€	2,46% (0,0246)	0,975991	200 × 0,975991 = 195,1982€
4	200€	2,44% (0,0244)	0,976183	200 × 0,976183 = 195,2366€
Total	600€			PVCF = 585,5948€

PVCF fin année 1 = -585,5948€

Passif total fin année 1 = 560,5263€ + 585,5948€ = 1 146,1211€

FIN D'ANNÉE 2

Évolution de la CSM :
- CSM début année 2 : 560,5263€
- CSM libéré : 186,8421€
- CSM fin année 2 = 373,6842€

Évolution de la PVCF :

Il reste les sinistres des années 3 et 4 (200€ chacun).

Année de paiement	Sinistres	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
3	200€	2,46% (0,0246)	0,975991	200 × 0,975991 = 195,1982€
4	200€	2,44% (0,0244)	0,976183	200 × 0,976183 = 195,2366€
Total	400€			PVCF = 390,4348€

PVCF fin année 2 = -390,4348€

Passif total fin année 2 = 373,6842€ + 390,4348€ = 764,1190€

FIN D'ANNÉE 3

Évolution de la CSM :
- CSM début année 3 : 373,6842€
- CSM libéré : 186,8421€
- CSM fin année 3 = 186,8421€

Évolution de la PVCF :

Il reste les sinistres de l'année 4 (200€).

Année de paiement	Sinistres	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
4	200€	2,44% (0,0244)	0,976183	200 × 0,976183 = 195,2366€
Total	200€			PVCF = 195,2366€

PVCF fin année 3 = -195,2366€

Passif total fin année 3 = 186,8421€ + 195,2366€ = 382,0787€

FIN D'ANNÉE 4

CSM fin année 4 = 0€
PVCF fin année 4 = 0€
Passif total fin année 4 = 0€

Tableau récapitulatif - Question 2.d

Fin d'année	CSM (€)	PVCF (€)	Passif total (€)
0	747,3684	752,6316	1 500,0000
1	560,5263	585,5948	1 146,1211
2	373,6842	390,4348	764,1190
3	186,8421	195,2366	382,0787
4	0,0000	0,0000	0,0000

QUESTION 3 : RA de 80€ libérée uniformément via l'OCI, avec ajustements en année 2

Rappel des hypothèses de la Question 3

RA initiale : 80€, libérée uniformément sur 4 ans (20€ par an)
En année 2 : sinistres réels = 140€ (au lieu de 200€ attendus)
Réestimation : sinistres années 3 et 4 = 140€ chacun (au lieu de 200€)
Taux d'actualisation variable (décroissant)

QUESTION 3.a : Le montant de CSM libéré en fin d'année 2

Étape 1 : Situation à la reconnaissance initiale

Rappel des valeurs initiales (avec RA = 80€) :
- CSM : 827,3684€
- PVCF : -752,6316€
- RA : 80€
- FCF : -672,6316€

Étape 2 : Évolution en année 1

CSM en année 1 :
- Amortissement linéaire : 827,3684€ / 4 = 206,8421€
- CSM fin année 1 = 620,5263€

PVCF en année 1 :
- Sinistres payés en année 1 : 200€ (comme attendu)
- PVCF fin année 1 = -585,5948€ (calculé en 2.d)

RA en année 1 :
- RA libéré : 20€
- RA fin année 1 = 60€

Étape 3 : Événements en année 2

Sinistres réels payés en année 2 : 140€ (au lieu de 200€ attendus)

Réestimation des sinistres futurs :
- Année 3 : 140€ (au lieu de 200€)
- Année 4 : 140€ (au lieu de 200€)

Étape 4 : Calcul de la nouvelle PVCF en fin d'année 2

Les sinistres restants sont ceux des années 3 et 4 (140€ chacun).

Année de paiement	Sinistres réestimés	Taux annuel (i_n)	Facteur annuel (1/(1+i_n))	Valeur actuelle
3	140€	2,46% (0,0246)	0,975991	140 × 0,975991 = 136,6387€
4	140€	2,44% (0,0244)	0,976183	140 × 0,976183 = 136,6656€
Total				PVCF = 273,3043€

PVCF fin année 2 (après réestimation) = -273,3043€

Étape 5 : Calcul de l'ajustement de la CSM

PVCF attendue en fin d'année 2 (avant réestimation) :
- PVCF attendue = 390,4348€ (calculé en 2.d)

Ajustement de la PVCF = -273,3043€ - (-390,4348€) = +117,1305€

Ajustement de la CSM = +117,1305€

QUESTION 3.a : Le montant de CSM libéré en fin d'année 2

CSM après ajustement = CSM début année 2 + Ajustement
CSM après ajustement = 620,5263€ + 117,1305€ = 737,6568€

Unités de couverture restantes en début d'année 2 : 3 ans

CSM libéré en année 2 = 737,6568€ / 3 = 245,8856€

QUESTION 3.b : La valeur de la CSM en fin d'année 2

CSM fin année 2 = CSM après ajustement - CSM libéré
CSM fin année 2 = 737,6568€ - 245,8856€ = **491,7712€**

QUESTION 3.c : Le montant des flux futurs sortants attendus en fin d'année 2

Le montant des flux futurs sortants (en valeur actuelle) est :

|PVCF| = 273,3043€

Le montant non actualisé est :

Sinistres année 3 + Sinistres année 4 = 140€ + 140€ = 280€

Tableau récapitulatif - Questions 3.a, 3.b, 3.c

Élément	Montant (€)
CSM début année 2	620,5263
Ajustement favorable	+117,1305
CSM après ajustement	737,6568
CSM libéré en fin d'année 2 (Q3.a)	245,8856
CSM fin année 2 (Q3.b)	491,7712
PVCF fin année 2 (Q3.c)	273,3043

QUESTION 3.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

FIN D'ANNÉE 1

CSM fin année 1 = 620,5263€
PVCF fin année 1 = 585,5948€
RA fin année 1 = 60€ (80€ - 20€)

Passif total fin année 1 = 620,5263€ + 585,5948€ + 60€ = 1 266,1211€

FIN D'ANNÉE 2

CSM fin année 2 = 491,7712€
PVCF fin année 2 = 273,3043€
RA fin année 2 = 40€ (60€ - 20€)

Passif total fin année 2 = 491,7712€ + 273,3043€ + 40€ = 805,0755€

FIN D'ANNÉE 3

CSM fin année 3 :
- CSM début année 3 : 491,7712€
- Unités de couverture restantes : 2 ans
- CSM libéré année 3 : 491,7712€ / 2 = 245,8856€
- CSM fin année 3 = 245,8856€

PVCF fin année 3 :
- Sinistres payés en année 3 : 140€
- Il reste les sinistres de l'année 4 (140€).
- PVCF fin année 3 = 136,6656€ (calculé en 3.c)

RA fin année 3 :
- RA début année 3 : 40€
- RA libéré année 3 : 20€
- RA fin année 3 = 20€

Passif total fin année 3 = 245,8856€ + 136,6656€ + 20€ = 402,5512€

FIN D'ANNÉE 4

Passif total fin année 4 = 0€

Tableau récapitulatif - Question 3.d

Fin d'année	CSM (€)	PVCF (€)	RA (€)	Passif total (€)
1	620,5263	585,5948	60	1 266,1211
2	491,7712	273,3043	40	805,0755
3	245,8856	136,6656	20	402,5512
4	0,0000	0,0000	0	0,0000

QUESTION 4 : RA de 80€ libérée uniformément via l'OCI (mêmes conditions que 3)

QUESTION 4.a : La valeur de la CSM en fin d'années 1 et 2

CSM fin année 1 = 620,5263€ (calculé en 3.d)

CSM fin année 2 = 491,7712€ (calculé en 3.d)

QUESTION 4.b : Le montant de RA libéré en fin d'année 1

RA libéré en fin d'année 1 = 80€ / 4 = 20€

QUESTION 4.c : La valeur de la RA en fin d'année 2

RA fin année 2 = 80€ - 20€ - 20€ = 40€

QUESTION 4.d : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'années 1 à 4

Les valeurs sont identiques à celles calculées en 3.d.

Fin d'année	Passif total (€)
1	1 266,1211
2	805,0755
3	402,5512
4	0,0000

QUESTION 5 : RA ajustée à 30€ en année 3 (au lieu de 40€)

Étape 1 : Situation en début d'année 3

CSM début année 3 = 491,7712€
RA début année 3 = 40€

Étape 2 : Réestimation de la RA en année 3

RA attendue pour années 3 et 4 : 40€

RA réestimée : 30€

Ajustement de la RA = 30€ - 40€ = -10€

QUESTION 5.a : La valeur de la CSM en fin d'année 3

Ajustement de la CSM = -10€

CSM après ajustement = 491,7712€ - 10€ = 481,7712€

Unités de couverture restantes : 2 ans

CSM libéré en année 3 = 481,7712€ / 2 = 240,8856€

CSM fin année 3 = 481,7712€ - 240,8856€ = 240,8856€

QUESTION 5.b : La valeur de la RA en fin d'année 3

RA début année 3 (après réestimation) : 30€

RA libéré en année 3 = 30€ / 2 = 15€

RA fin année 3 = 30€ - 15€ = 15€

QUESTION 5.c : La valeur du groupe de contrats d'assurance en fin d'année 3

Composantes du passif en fin d'année 3 :
- CSM : 240,8856€
- PVCF : 136,6656€ (calculé en 3.d)
- RA : 15€

Passif total fin année 3 = 240,8856€ + 136,6656€ + 15€ = 392,5512€

Tableau récapitulatif - Question 5

Composante	Montant (€)
CSM fin année 3 (Q5.a)	240,8856
RA fin année 3 (Q5.b)	15,0000
PVCF fin année 3	136,6656
Passif total fin année 3 (Q5.c)	392,5512